Resumo O problema abordado neste trabalho consiste na redução dos custos de energia elétrica necessária para o funcionamento de bombas hidráulicas, que são utilizadas para captar água de poços artesianos ou estações de tratamento de água para abastecer reservatórios distribuídos por bairros de uma cidade. A população é então atendida por força gravitacional. Como o custo da energia elétrica varia ao longo do dia, é necessário um planejamento do funcionamento das bombas. O problema consiste em decidir quando as bombas devem permanecer ligadas e quando deve haver transferência de água entre os reservatórios para que a demanda de cada reservatório seja atendida, minimizando os custos com energia elétrica. Este problema é modelado como um problema de programação linear inteira, e uma solução heurística é proposta. Experimentos computacionais mostram a eficiência da heurística e como a abordagem pode ser utilizada para analisar o impacto de alterações na infraestrutura do sistema de abastecimento.

Abstract The problem considered in this paper consists of the reduction of electrical energy costs necessary for the operation of hydraulic pumps, which are used to collect water from artesian wells or from a Water Treatment Station to fill water tanks located in many districts of a city. The water is then supplied by gravitational force. Because the cost of electrical energy varies throughout the day, a pump running schedule is necessary. The problem consists of determining when the pumps must be on and when there must be water transfer among tanks to ensure that the demand of each water tank be supplied, thereby minimizing the costs of electrical energy. This problem was modeled as an integer linear optimization problem, and a heuristic solution to the problem is proposed. Computational experiments show the efficiency of the heuristic and highlight how the approach can be used to analyze the impact of changes in the infrastructure of the water supply system.

ABSTRACT This paper addresses the cutting stock/leftover problem (CSLP), which differs from the ordinary cutting stock problem (CSP) by retaining stock leftovers that can be cut in the future to meet new demands. Therefore, leftovers are not considered waste in the current period. A new mathematical model for the CSLP is presented to capture a well-used strategy in the practice of cutting, which consists of partially cutting the objects in stock, and keeping the leftovers to be cut in the next periods. Computational experiments were made for the one-dimensional case, although other dimensions can be considered straightforward.

O problema de corte de estoque multiperíodo surge imerso no planejamento e programação da produção em empresas que têm um estágio de produção caracterizado pelo corte de peças. As demandas dos itens ocorrem em períodos diversos de um horizonte de planejamento finito, sendo possível antecipar ou não a produção de itens. Os objetos não utilizados em um período ficam disponíveis no próximo, juntamente com possíveis novos objetos adquiridos ou produzidos pela própria empresa. Um modelo de otimização linear inteira de grande porte é proposto, cujo objetivo pondera as perdas nos cortes, os custos de estocagem de objetos e itens. O método simplex com geração de colunas foi especializado para resolver a relaxação linear. Experiências computacionais preliminares mostram que ganhos efetivos podem ser obtidos, quando comparado com a solução lote-por-lote, tipicamente utilizada na prática. No entanto, em problemas práticos, uma solução fracionária não é aplicável. Então, foram desenvolvidas duas abordagens para o arredondamento da solução para o problema de corte de estoque multiperíodo. Tais procedimentos são baseados em horizonte rolante, que basicamente, consiste em tentar encontrar uma solução inteira apenas para o primeiro período, já que esta será uma solução implementada na prática; para os demais períodos pode haver mudança na demanda, por exemplo, a chegada de novos pedidos ou o cancelamento de pedidos. Finalmente, concluímos que o modelo proposto para o problema de corte de estoque multiperíodo permite flexibilidade na análise da solução a ser posta em prática. O modelo multiperíodo pode ser uma ferramenta que fornece ao tomador de decisões uma ampla visão do problema e pode auxiliá-lo na tomada de decisão.

The Multiperiod Cutting Stock Problem arises embedded in the production planning and programming in many industries which have a cutting process as an important stage. Ordered items have different due date over a finite planning horizon. A large scale integer linear optimization model is proposed. The model makes possible to anticipate or not the production of items. Unused objects in inventory in a period become available to the next period, added to new inventory, which are acquired or produced by the own company. The mathematical model's objective considers the waste in the cutting process, and costs for holding objects and final items. The simplex method with column generation was specialized to solve the linear relaxation. Some preliminary computational experiments showed that the multiperiod model could obtain effective gains when compared with the lot-for-lot solution, which is typically used in practice. However, in real world problems, the fractional solution is useless. So, additionally, two rounding procedures are developed to determine integer solutions for multiperiod cutting stock problems. Such procedures are based on a rolling horizon scheme, which roughly means, find an integer solution only for the first period, since this is the solution to be, in fact, carried out. Finally, we conclude that the proposed model for multiperiod cutting stock problems allows flexibility on analyzing a solution to be put in practice. The multiperiod cutting problem can be a tool that provides the decision maker a wide view of the problem and it may help him/her on making decisions.

Neste artigo é tratado o clássico problema de corte de estoque bidimensional, cuja solução consiste em um conjunto de padrões de corte que otimiza uma função objetivo, por exemplo, a perda de material. Porém, os padrões de corte podem ser seqüenciados de modo que um outro objetivo também seja otimizado, como, por exemplo, o número máximo de pilhas abertas de itens (uma pilha é aberta quando um tipo de item é cortado pela primeira vez e fechada quando todos os itens deste tipo foram cortados). Uma boa solução para o problema de geração de padrões de corte freqüentemente não resulta numa boa solução para o problema de sequenciamento de padrões de corte, e vice-versa. Em geral, esses dois problemas são abordados, tanto na prática como na literatura, de forma independente e sucessiva. Pileggi et al. (2005) propuseram abordagens heurísticas para resolver esses dois problemas de forma integrada, considerando o trade-off entre os objetivos envolvidos, e analisaram o caso de corte unidimensional (p.e., corte de barras). No presente trabalho estas abordagens são estendidas e aplicadas para analisar o caso de corte bidimensional guilhotinado (p.e., corte de chapas). Resultados computacionais são apresentados para exemplos gerados aleatoriamente e para um exemplo real de uma fábrica de móveis.

This paper is concerned with the classical two-dimensional cutting stock problem, whose solution consists of a set of cutting patterns that optimize an objective function, for example, the waste of material. Nevertheless, the cutting patterns have to be sequenced so that another criterion is also optimized, for example, the maximum number of open stacks of the items (a stack is opened when a type of item is cut for the first time and closed when all items of this type were cut). A good solution for the problem of generating cutting patterns often does not result in a good solution for the problem of sequencing cutting patterns, and vice-versa. In general, these two problems are treated, either in practice or in the literature, in an independent and successive way. Pileggi et al. (2005) proposed heuristic approaches to solve these two problems in an integrated way, considering the trade-off between the objectives involved, and they analyzed the one-dimensional cutting case (e.g., cut of bars). In the present study these approaches are extended and applied to analyze the two-dimensional guillotine cutting case (e.g., cut of plates). Computational results are presented for randomly generated examples and for an actual instance of a furniture company.

Neste artigo é apresentado um modelo de otimização 0-1 para determinar uma programação de rotações de culturas em uma área de plantio dividida em lotes. As culturas podem apresentar ciclos produtivos com durações distintas e variadas épocas do ano para o plantio. O modelo inclui restrições de plantio para lotes vizinhos e para seqüência de culturas na rotação, além do plantio de culturas para adubação verde e períodos de pousio. As rotações têm a mesma duração em todos os lotes e as culturas são selecionadas para maximizar a ocupação dos lotes. Foram realizados experimentos computacionais usando exemplos retirados de situações reais com rotações de 2 anos, envolvendo 28 culturas.

This paper addresses the planning programming of crop rotation in neighbor plots. The crops can have productive cycles with different duration and varied seasons for the planting. The planning includes restrictions of planting for neighbor plots and for sequence of crops in the rotation. Moreover, there are included crops for green fertilizing and periods of fallow. The rotations have the same duration in each plot. A 0-1 linear programming problem was developed to deal with the problem of maximizing the allocation on the plots, subject to the conditions described before. Computational experiments were carried out using examples from the real world with rotations of 2 years and 28 cultures.

Os problemas de otimização linear canalizados e esparsos, objeto principal deste trabalho, surgem em várias aplicações, como por exemplo, problemas de planejamento da produção, problemas de mistura, entre outras. Métodos tipo dual simplex com busca linear por partes foram propostos e analisados em Sousa et al. (2005), com resultados efetivos para problemas densos pequenos e agora são analisados para problemas esparsos maiores. Algumas heurísticas de pivotamento foram implementadas para tentar manter a esparsidade e reduzir o tempo total de resolução dos problemas. Um conjunto de exemplos com estruturas esparsas que tipicamente ocorrem na prática foram gerados aleatoriamente para analisar o desempenho dos métodos. Os resultados computacionais demonstram a eficiência da abordagem.

Two-side constraint and sparse linear optimization problems, the main object of this work, appear in several applications, such as, production planning problems, mix problems among others. Dual Simplex-typed methods, called two-side constraint dual simplex methods with piecewise linear search were proposed and analyzed in Sousa et al. (2005), which showed effective results for dense and small problems and now they are analyzed for larger and sparse problems. These methods were implemented together with some pivoting heuristics to maintain sparsity and to reduce the running time. Sets of linear optimization randomly generated problems with sparse structures that occur in real world were used to analyze the performance of the methods. The computational results show the efficiency of the approaches.

O problema de corte de estoque unidimensional consiste em cortar objetos disponíveis para a produção de itens de modo a atender uma demanda especificada, em que apenas uma dimensão é relevante para o corte (barras, bobinas, etc.). O problema pode ser formulado como um problema de programação linear inteira de grande porte, cuja solução ótima, via de regra, não pode ser obtida na prática, quando tipicamente dezenas de itens devem ser produzidas. Neste artigo tratamos o problema de determinar soluções inteiras para o problema de corte de estoque unidimensional, dando atenção especial a problemas com baixa demanda. Revisamos métodos heurísticos bem conhecidos e algumas variações. Esses métodos são comparados em relação à qualidade de suas soluções, número de padrões de corte e tempo computacional. Nossa análise está baseada na resolução de exemplares gerados aleatoriamente.

One-dimensional cutting stock problems consist of cutting standard objects available in stock into smaller pieces called items in order to meet a known demand. Only one dimension of the stock objects is considered in the cutting process (rolls, bars, etc.) This problem might be formulated as a large scale integer linear programming problem, which an optimal solution cannot be obtained in practice, especially when dozens of items have to be produced. This paper addresses the problem of finding integer solutions to the one-dimensional cutting stock problem, with special attention to problems with low demand. We study some heuristic approaches proposed in literature and some straightforward variants. These methods are compared with respect to solution quality, number of cutting patterns and computational time. Our evaluation is based on solving randomly generated instances.

O problema tratado neste trabalho consiste em cortar uma placa retangular em peças menores retangulares, de modo que a perda seja minimizada. A placa, entretanto, contém defeitos bem localizados. Propomos uma abordagem em grafo E/OU para representação das soluções possíveis e um método de enumeração implícita para determinar a solução ótima. Resultados computacionais demonstram a efetividade da abordagem.

This paper addresses to the two-dimensional cutting problem where a rectangular plate is to be cut into smaller rectangular pieces, in such a way as to minimizing the waste. However, the plate has a number of well-located defects. We propose an AND/OR-graph approach to represent the feasible solutions and a branch and bound method in order to search the graph. Computational experiments show that the approach is effective.

O problema de geração de padrões de corte (ou problema de corte de estoque) consiste em determinar o conjunto de padrões em que unidades demandadas (itens) são cortadas de unidades maiores (objetos) tal que, por exemplo, o custo ou a perda de material é minimizado. O problema de seqüenciamento de padrões de corte consiste em determinar a seqüência em que os padrões são cortados tal que, por exemplo, o número máximo de pilhas abertas (pilhas de itens com demanda apenas parcialmente produzida, que ainda serão cortados de um ou mais padrões seguintes nessa seqüência) é minimizado. Em geral, uma boa solução para o problema de geração de padrões não corresponde a uma boa solução para o problema de seqüenciamento de padrões e vice-versa. Esses dois problemas são freqüentemente resolvidos, tanto na prática como na literatura, de forma independente e sucessiva. Este trabalho apresenta três abordagens heurísticas para resolver de forma integrada os problemas de geração e seqüenciamento de padrões, considerando o trade-off entre os objetivos envolvidos. Embora essas abordagens possam ser aplicadas para problemas de corte e empacotamento de qualquer dimensão, neste trabalho elas são analisadas e comparadas apenas para o caso de corte unidimensional.

The cutting pattern generating problem (or cutting stock problem) consists in determining the set of patterns in which ordered units (items) are cut from larger units (objects) so that, for example, the cost or waste of material is minimized. The cutting pattern sequencing problem consists in determining the sequence in which the patterns are cut so that, for example, the maximum number of open stacks (stacks of items with demand only partially produced and that will be cut in the next cutting patterns of the sequence) is minimized. In general a good solution for the pattern generating problem does not correspond to a good solution for the pattern sequencing problem and vice-versa. These problems are frequently solved, both in practice and in the literature, in an independent and successive way. This work presents three heuristic approaches to deal with the integrated pattern generating and sequencing problem, considering the trade-off between the objectives involved. Although the approaches can be applied to cutting and packing problems of any dimension, in this work they are analyzed and compared only for the one-dimensional cutting case.

Neste artigo estudamos o problema de otimização linear canalizado (restrições e variáveis canalizadas, chamado formato geral) e desenvolvemos métodos do tipo dual simplex explorando o problema dual, o qual é linear por partes, num certo sentido não-linear. Várias alternativas de busca unidimensional foram examinadas. Experimentos computacionais revelam que a busca unidimensional exata na direção dual simplex apresenta melhor desempenho.

In this paper we study the linear optimization problem lower and upper constrained (i.e., there are lower and upper bounds on constraints and variables) and develop dual simplex methods that explore the dual problem, which is piecewise linear, in some sense nonlinear. Different one-dimensional searches were examined. Computational experiments showed that the exact one-dimensional search in the dual simplex direction has the best performance.

Este trabalho consiste num estudo de caso em uma fundição cativa de grande porte, a qual tem três linhas de moldagem e dois conjuntos de fornos. As linhas de moldagem produzem diferentes tipos de itens com demandas conhecidas e que devem ser feitos com diferentes ligas produzidas pelos fornos. Em cada período, a programação da produção nessa fundição envolve dois níveis importantes de decisão que estão inter-relacionados: 1) qual liga deve ser produzida no forno em cada período, e 2) a quantidade de cada item a ser produzida em cada máquina de moldagem. Inicialmente, o processo produtivo é descrito e então um modelo matemático de otimização inteira mista é proposto o qual considera o dimensionamento de lotes para os itens e a programação da capacidade dos fornos. Um pacote comercial foi utilizado para a obtenção dos resultados computacionais. Foi feita uma simulação de 5 dias de trabalho e os resultados obtidos a partir da solução do modelo foram comparados com os resultados obtidos na prática pela indústria, mostrando expressivos ganhos de produtividade e redução de atrasos na entrega dos pedidos.

This work consists of a case study in a large foundry, which has three molding lines and two sets of furnaces. The molding lines produce different types of items, which must be made of different alloys produced by the furnaces. In each period, the production programming in this foundry has two important levels of decision making which are linked: 1) which alloys should be produced in the furnace in each period and 2) the quantity of each item to be produced in each molding machine. Initially, the productive process is described and then a mixed integer programming optimization model is proposed in which the lot-sizing of the items and the capacity programming of the furnaces are considered. A commercial package/software was utilized to obtain the computational results. A simulation lasting 5 working days was carried out and the computational results obtained from the model solution were compared with the ones obtained by the company, showing a significant increase in the productivity and reduction concerning delays of the delivery deadline.

Este trabalho trata de um problema prático de dimensionamento e seqüenciamento de lotes em uma fundição. Existem dois níveis de decisão inter-relacionados: programação do forno, em que um tipo de liga é escolhido para ser produzido em cada período, e planejamento das máquinas de moldagem, que especifica a quantidade de cada item deve ser produzida em cada período, isto é, dimensionamento dos lotes. Um modelo de programação inteira mista é proposto e um método de solução baseado em busca local é desenvolvido. O planejamento da produção é feito usando a técnica de horizonte rolante, em que somente a programação para os períodos imediatos é implementada. Os resultados dos testes computacionais são analisados e comparados com os resultados obtidos utilizando um pacote comercial.

This article discusses a practical lot-sizing and scheduling problem in a foundry, involving two interrelated decision levels: furnace scheduling - in which a type of alloy is selected for production in each period, and molding machine planning - which specifies the quantity of each item to be manufactured in each period, i.e., lot-sizing. A mixed integer programming (MIP) model is proposed for this problem and a solution method is developed based on local search. The production is planned using the rolling horizon technique, whereby only immediate-period schedules are implemented. The results of the computational tests are analyzed and compared with those obtained using a commercial package.

Este trabalho consiste no estudo de um problema prático que ocorre numa fundição que tem apenas um forno em operação por período, consistindo no gargalo do processo produtivo, e várias máquinas de moldagem que produzem diferentes tipos de itens com demandas conhecidas que devem ser feitos com diferentes ligas. Em cada período, a programação da produção envolve dois níveis importantes de decisão que estão inter-relacionados: 1) qual liga deve ser produzida no forno; 2) a quantidade de cada item a ser produzida em cada máquina de moldagem. Num estudo anterior, foi proposto um modelo de dimensionamento de lotes monoestágio, com restrições de capacidade, máquinas paralelas e múltiplos itens. Neste trabalho foram realizadas extensões do modelo e do método de solução, considerando-se custos de preparação e admitindo-se atrasos na data de entrega. Esta abordagem fornece ao decisor possíveis rearranjos na demanda, caso não seja possível o atendimento sem atraso.

This work consists of studying a practical problem that arises from a foundry, which has only one furnace operating at each period, which is the production bottleneck. Several moulding machines produce moulds for a known demand of different types of items, which must be made with different alloys. For each period, the production programming has two important and linked decision levels: 1) which alloys should be produced in the furnace, and 2) the quantity of each item to be produced in each moulding machine. In an earlier study, a single-level, multi-item, capacitated, parallel machine lot-sizing model was proposed. In this work, that model has been extended considering setup cost and backlog of orders, as well as the solution method. This approach provides the decision maker with possible arrangements on demand, in case of backlogging.

O Problema da Mochila Compartimentada é uma variação do clássico problema da mochila e pode ser enunciado considerando-se a seguinte situação hipotética: um alpinista deve carregar sua mochila compossíveis itens de seu interesse. A cada item atribui-se o seu peso e um valor de utilidade (até aqui, o problema coincide com o clássico Problema da Mochila). Entretanto, os itens são de agrupamentos distintos (alimentos, medicamentos, utensílios, etc.) e devem estar em compartimentos separados na mochila. Os compartimentos da mochila são flexíveis e têm capacidades limitadas. A inclusão de um compartimento tem um custo fixo que depende do agrupamento com que foi preenchido, além de introduzir uma perda da capacidade da mochila. O problema consiste em determinar as capacidades adequadas de cada compartimento e como esses devem ser carregados, maximizando o valor de utilidade total, descontado o custo de incluir compartimentos. Neste trabalho propomos um modelo de otimização não linear inteiro para o problema e algumas heurísticas para sua resolução. Uma aplicação prática de relevância deste problema aparece no corte de bobinas de aço, sujeito à laminação, detalhado em apêndice.

The Compartmentalized Knapsack Problem is a variation of the classical knapsack problem and can be stated considering the following hypothetical situation: an alpinist must load his knapsack with items. Two numbers, a weight and an utility value are associated with each item (so far, the problem coincides with the classical integer Knapsack Problem). However, the items are of different classes (food, medicine, utensil, etc.) and they have to be packed into separate compartments inside the knapsack. The compartments are flexible and have limited capacities. Each compartment has a fixed cost that depends on the class of the items and, in addition, each new compartment introduces a loss on the capacity of the knapsack. The Compartmentalized Knapsack Problem consists in determining suitable capacities for each compartment as well as their packing. The objective is to maximize the total utility value paid off the cost of the compartments. In this work, we model the problem as an integer non-linear optimization problem and we design some heuristic methods for its solution. A practical application of this problem arises in steel rolls cutting subject to lamination, which is discussed in detail in the appendix.

Este trabalho apresenta um estudo sobre o método de resolução de um problema de dimensionamento de lotes monoestágio proposto por Trigeiro et al. (1989). Este problema consiste em determinar as quantidades de itens a serem produzidas em diferentes períodos de tempo, de modo a minimizar a soma dos custos de produção, preparação e estoque. A quantidade produzida em cada período deve ser capaz de atender as demandas dos itens, sem exceder a capacidade de máquina. Para retratar o consumo de recursos, são incluídos tempos de preparação e produção. O método de resolução desenvolvido por Trigeiro et al. (1989) consiste num método heurístico baseado em relaxação Lagrangiana, no método de otimização do subgradiente e em uma heurística de factibilização. Neste trabalho, esse método foi implementado considerando custos variáveis no tempo. Além disso, foi proposta uma mudança, baseada nas condições de otimalidade do problema, na fase de melhoria da solução factível. São apresentados alguns experimentos computacionais comparando as duas versões.

This work presents a study on the resolution method of the single product lot sizing problem formulated by Trigeiro et al. (1989). This problem consists of determining the quantities to be produced in different periods of time, minimizing the sum of costs of production, setup and inventory. The quantity to be produced in each period should be sufficient to attend the demands of items, without exceeding the capacity of the machine. To model the aspects of consumption of resources, setup and production times are included in the model. The resolution method developed by Trigeiro et al. (1989) consists of a heuristic method based on Lagrangean relaxation, subgradient optimization and a heuristic smoothing procedure. In this work that method was implemented considering variable costs. Furthermore, it was proposed a modification, based on the optimality conditions of the problem, during the phase of the improvement of the feasible solution. Some computational experiments are presented comparing both versions.